數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是重大科技創(chuàng)新的基礎(chǔ)，在促進(jìn)智力發(fā)展和培養(yǎng)理性思維、科學(xué)精神方面發(fā)揮著不可替代的作用。高中數(shù)學(xué)課程要幫助學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。[1] 然而，站在素養(yǎng)提升的角度，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)還存在素養(yǎng)目標(biāo)對(duì)標(biāo)不精準(zhǔn)、主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)認(rèn)知模糊、教學(xué)設(shè)計(jì)思路不清晰、教學(xué)實(shí)施方式單一等問題，導(dǎo)致學(xué)生高階思維與學(xué)科素養(yǎng)提升受限。

基于此，筆者圍繞“主題”“結(jié)構(gòu)”兩個(gè)關(guān)鍵詞，提出高中數(shù)學(xué)“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)主張?！爸黝}”包括必修課程和選擇性必修課程中的預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；“結(jié)構(gòu)”包括主題內(nèi)容、單元內(nèi)容甚至課時(shí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)。“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)主張的核心內(nèi)涵是：主題內(nèi)容是有結(jié)構(gòu)的，結(jié)構(gòu)的構(gòu)建經(jīng)歷初建、重建、完善三個(gè)進(jìn)階式階段；主題內(nèi)容的教學(xué)實(shí)施是有策略的，不同階段的教學(xué)策略和方式是不盡相同的，上述三個(gè)階段依次對(duì)應(yīng)探究、整合、循證。

主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的方法

結(jié)構(gòu)化的主題內(nèi)容更容易被理解，也更不容易被遺忘。打個(gè)比方，如果把數(shù)學(xué)中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)當(dāng)成一塊磚，把這些磚雜亂地堆放在一起，則很難把握這堆磚的數(shù)量，即便丟失幾塊也難以被發(fā)現(xiàn)；把這堆磚壘成一堵墻，則不僅可以很容易數(shù)清磚的數(shù)量，即便丟失幾塊也一眼可以發(fā)現(xiàn)。[2] 結(jié)構(gòu)化的重要性可見一斑。

（一）立足學(xué)科本質(zhì)，圍繞核心概念層層展開

對(duì)于同一主題，采取不同的構(gòu)建方式，所形成的主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系也各不相同。主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)化應(yīng)立足學(xué)科本質(zhì)，圍繞核心概念的內(nèi)涵與外延逐層展開，從而構(gòu)建出層次清晰、邏輯連貫的主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系。

以“概率與統(tǒng)計(jì)”主題下的統(tǒng)計(jì)單元為例。統(tǒng)計(jì)的基本思想是“用樣本估計(jì)總體”，樣本如何獲得—需要抽樣，如何“用樣本估計(jì)總體”—需要先借助統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行樣本分析，因此以“統(tǒng)計(jì)”為核心概念的第一層內(nèi)容結(jié)構(gòu)就可以包括基本思想、抽樣、樣本分析、估計(jì)總體。接下來再以“抽樣”為核心概念繼續(xù)梳理，要使樣本可以有效估計(jì)總體，抽樣必須遵循哪些原則；基于這些原則，在不同情況下有哪些抽樣方法，以“抽樣”為核心概念的第二層內(nèi)容結(jié)構(gòu)即包括抽樣原則、抽樣方法。以此層層遞推，形成從主題到單元再到課時(shí)的層層鑲嵌的主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系。

（二）依據(jù)學(xué)科邏輯，設(shè)計(jì)問題鏈步步深入

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，其課時(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)基本是“概念—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用”。然而，概念如何抽象，圖像如何繪制，性質(zhì)如何提煉，應(yīng)用如何展開，這一切都需要通過設(shè)計(jì)一系列具有內(nèi)在邏輯主線且環(huán)環(huán)相扣的問題來實(shí)現(xiàn)。

以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例，為使學(xué)生深刻理解“倒序相加法”這一核心概念，筆者設(shè)計(jì)了如下問題：

通過上述問題鏈可以清晰感受到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯：從“高斯求和”這一學(xué)生熟知的情境作為生長(zhǎng)點(diǎn)，發(fā)展到“等差數(shù)列求和”這一核心內(nèi)容；從“高斯配對(duì)方法”抽象出“倒序相加法”這一核心方法；再結(jié)合“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”與“梯形面積公式”從結(jié)構(gòu)到探索方法都基本一致的事實(shí)，把“梯形面積公式”作為新知的固著點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧與統(tǒng)一。

（三）遵循教育邏輯，搭建認(rèn)知腳手架循循漸進(jìn)

對(duì)于一個(gè)具體問題的解決，面對(duì)知識(shí)技能、能力素養(yǎng)參差不齊的學(xué)生群體，要實(shí)現(xiàn)問題解決最優(yōu)化，需要教師通過追問搭建腳手架，把問題進(jìn)一步分解，并組織思考、展示、交流等活動(dòng)，讓學(xué)生參與新知發(fā)生發(fā)展的全過程。

以前文中問題②為例，課堂上主要產(chǎn)生兩種思路：思路①是1+2+3+…+99=（1+2+3+…+100）-100，思路②是1+2+3+…+99=（1+99）+（2+98）+…+（49+51）+50。

但是這兩種思路都存在不足，思路①相當(dāng)于多解了問題①，思路②如果換個(gè)問題情境，“剩下的中間那個(gè)數(shù)”到底是多少在實(shí)操中還是有一定難度的。出現(xiàn)認(rèn)知沖突，尋求第三種思路，聚焦“高斯配對(duì)求和”的本質(zhì)—位置對(duì)應(yīng)，依次提出兩個(gè)追問：追問①“互相配對(duì)”的兩個(gè)數(shù)在原式中分別處于什么位置？答：“第1項(xiàng)與倒數(shù)第1項(xiàng)”“第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)”；追問②體會(huì)每句話之間具有什么共性？你受到什么啟發(fā)？答：“第幾項(xiàng)”就與“倒數(shù)第幾項(xiàng)”相加。于是，“把式子倒過來寫再相加”的新思路便呼之欲出。

“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)的設(shè)計(jì)原則與路徑

“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)設(shè)計(jì)以依據(jù)課標(biāo)、針對(duì)學(xué)情為原則。課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)必須以課標(biāo)為基本準(zhǔn)繩。由于課標(biāo)具有普適性，對(duì)于不同區(qū)域、不同學(xué)校、不同班級(jí)的學(xué)生，有必要針對(duì)學(xué)情進(jìn)行更加個(gè)性化的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過學(xué)生感興趣且有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維深度參與并不斷體驗(yàn)成功。

“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)設(shè)計(jì)的基本路徑包括“八個(gè)圍繞”。一是圍繞課標(biāo)備教材，根據(jù)課標(biāo)要求對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行必要的重組、擴(kuò)充與整合；二是圍繞教材備主題，根據(jù)教材整合情況確定主題內(nèi)容；三是圍繞主題備結(jié)構(gòu)，根據(jù)主題內(nèi)容探索形成課時(shí)和單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖；四是圍繞結(jié)構(gòu)備問題，依據(jù)學(xué)科邏輯設(shè)計(jì)問題鏈，以期學(xué)生能夠通過問題鏈構(gòu)建上述結(jié)構(gòu)圖；五是圍繞問題備素養(yǎng)，從問題解決的視角，分析解決上述問題需要學(xué)生具備什么樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；六是圍繞素養(yǎng)備學(xué)情，思考本班甚至本校的學(xué)生是否具備上述素養(yǎng)，并遵循教育邏輯嘗試給每一個(gè)問題搭建腳手架；七是圍繞學(xué)情備例題，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知及情感發(fā)展水平，設(shè)計(jì)具有代表性和針對(duì)性的例題；八是圍繞例題備遷移，視學(xué)生對(duì)例題的掌握程度，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖兪筋}或思考題讓學(xué)生探索、挑戰(zhàn)，提升學(xué)生高階思維水平。

“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)的實(shí)施策略

僅有好的教學(xué)設(shè)計(jì)并不能保證教學(xué)效果，還需要一套相對(duì)穩(wěn)定而不僵化的教學(xué)實(shí)施策略。在“主題—結(jié)構(gòu)”教學(xué)中，筆者探索出“主題探究—結(jié)構(gòu)初建”“主題整合—結(jié)構(gòu)重建”“主題深化—結(jié)構(gòu)完善”三個(gè)進(jìn)階式階段，并以“分時(shí)段推進(jìn)，細(xì)環(huán)節(jié)落實(shí)”為統(tǒng)一理念，分別構(gòu)建了各具特色的教學(xué)時(shí)段、環(huán)節(jié)與策略。

（一）“主題探究—結(jié)構(gòu)初建”階段

在“主題探究—結(jié)構(gòu)初建”階段，課堂教學(xué)的基本方式是“探究”，一節(jié)課按照“學(xué)進(jìn)去、講出來、靈活用”三個(gè)時(shí)段推進(jìn)。

“學(xué)進(jìn)去”時(shí)段細(xì)化為“誘思”和“導(dǎo)學(xué)”兩個(gè)環(huán)節(jié)?！罢T思”是通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)情境誘發(fā)學(xué)生思考，旨在讓學(xué)生的思維進(jìn)入課堂；“導(dǎo)學(xué)”是通過設(shè)計(jì)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題邏輯牽引下自覺跟進(jìn)，旨在讓學(xué)生的思維留在課堂。

“講出來”時(shí)段細(xì)化為“展示”和“交流”兩個(gè)環(huán)節(jié)?！罢故尽笔菍W(xué)生以擅長(zhǎng)的方式闡述對(duì)所學(xué)課時(shí)內(nèi)容的理解；“交流”是學(xué)生結(jié)合自己的理解對(duì)同學(xué)展示的內(nèi)容作補(bǔ)充、質(zhì)疑或探討。這一設(shè)計(jì)旨在促進(jìn)不同認(rèn)知水平的學(xué)生充分交流，在教師引導(dǎo)下形成正確的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

“靈活用”時(shí)段細(xì)化為“示范”“模仿”“遷移”“創(chuàng)新”四個(gè)環(huán)節(jié)?！笆痉丁笔墙處熗ㄟ^典型例題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)分析、解答和總結(jié)，通過言語、板書等方式教會(huì)學(xué)生規(guī)范的解題程序和格式；“模仿”是通過設(shè)計(jì)與例題同類的練習(xí)，讓學(xué)生再現(xiàn)例題的解題程序與格式，實(shí)現(xiàn)程序化模式識(shí)別；“遷移”是通過設(shè)計(jì)與例題相關(guān)但又有明顯差別、對(duì)思維要求相對(duì)更高的變式習(xí)題，讓學(xué)生跳出定式、發(fā)散思維去分析求解，實(shí)現(xiàn)既能模式識(shí)別又能靈活變通；“創(chuàng)新”是通過設(shè)計(jì)與例題相關(guān)且有挑戰(zhàn)性的思考題，讓學(xué)生探究解題路徑，揭示問題本質(zhì)，發(fā)展高階思維。

（二）“主題整合—結(jié)構(gòu)重建”階段

在“主題整合—結(jié)構(gòu)重建”階段，課堂教學(xué)的基本方式是“整合”，一節(jié)課按照“結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)、策略與方法、整合與創(chuàng)新”三個(gè)時(shí)段推進(jìn)。

“結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)”時(shí)段是從系統(tǒng)的角度梳理內(nèi)容結(jié)構(gòu)。主要針對(duì)學(xué)生課前繪制的內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖，師生共同從主題內(nèi)容的完備性、各模塊內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性、模塊內(nèi)部?jī)?nèi)容的邏輯性以及結(jié)構(gòu)圖的觀賞性等維度進(jìn)行內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系的優(yōu)化與完善，其基本環(huán)節(jié)是展示、交流、優(yōu)化。

“策略與方法”時(shí)段是從整體視角針對(duì)重點(diǎn)問題，通過題組設(shè)計(jì)與編排探求解決問題的策略與方法。該環(huán)節(jié)主要針對(duì)基本問題的模式識(shí)別與程序落地，致力于揭示求解某類問題的一般規(guī)律，鞏固所學(xué)知識(shí)方法，變陳述性知識(shí)為程序性知識(shí)，其基本環(huán)節(jié)是探索、總結(jié)、遷移。

“整合與創(chuàng)新”時(shí)段既是對(duì)研究問題的拓展與延伸，又是對(duì)問題解決過程的反思與總結(jié)。針對(duì)主題內(nèi)容，從不同角度、不同方法、不同策略的轉(zhuǎn)換中設(shè)計(jì)有層次的挑戰(zhàn)性問題，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及分析問題、解決問題的能力，其基本環(huán)節(jié)是挑戰(zhàn)、提煉。

（三）“主題深化—結(jié)構(gòu)完善”階段

在“主題深化—結(jié)構(gòu)完善”階段，課堂教學(xué)的基本方式是“循證”，一節(jié)課按照“目標(biāo)參照、循證分析、深化理解”三個(gè)時(shí)段推進(jìn)。

“目標(biāo)參照”時(shí)段細(xì)化為“命題意圖”與“目標(biāo)達(dá)成”兩個(gè)環(huán)節(jié)。通過命題意圖以及建立在“雙向細(xì)目表”基礎(chǔ)上的目標(biāo)達(dá)成度分析，可以讓學(xué)生更清楚該主題的結(jié)構(gòu)框架及重難點(diǎn)分布，并明確相對(duì)于教師的預(yù)期自己還存在的不足，進(jìn)而調(diào)整學(xué)習(xí)重心。

“循證分析”時(shí)段細(xì)化為“個(gè)別錯(cuò)誤”與“傾向錯(cuò)誤”兩個(gè)環(huán)節(jié)。主要是為教師確定“糾錯(cuò)微專題”提供數(shù)據(jù)支撐，同時(shí)也讓學(xué)生明白自己的問題屬于個(gè)別性錯(cuò)誤還是傾向性錯(cuò)誤，進(jìn)而進(jìn)行策略性糾錯(cuò)，降低焦慮情緒。

“深化理解”時(shí)段主要針對(duì)傾向性錯(cuò)誤，以微專題的形式進(jìn)行糾錯(cuò)。先后經(jīng)歷四個(gè)環(huán)節(jié)：錯(cuò)解呈現(xiàn)、錯(cuò)因分析、正解探索、反思總結(jié)。這種微專題糾錯(cuò)方式既可以解決“地毯式”講評(píng)的低效問題，也可以規(guī)避針對(duì)錯(cuò)題就題講題這種“狙擊式”講評(píng)的系統(tǒng)性缺失問題。

“主題深化—結(jié)構(gòu)完善”階段旨在把測(cè)試獲取的“差錯(cuò)信息”作為課堂教學(xué)的重要資源，學(xué)生通過課堂觀察、自我反思、小組合作、組間研討等學(xué)習(xí)形式，充分暴露思維過程中的偏差或不足，從而幫助學(xué)生尋找錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源，明確糾錯(cuò)的策略與方法，最終深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)及思想方法的理解。

參考文獻(xiàn)

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[3] 王秀彩.“探究主題—結(jié)構(gòu)初建課”的教學(xué)設(shè)計(jì)解讀[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（9）：73-75，78.

（王秀彩 北京市朝陽外國語學(xué)校校長(zhǎng)，北京市特級(jí)教師，正高級(jí)教師）

《人民教育》2025年第24期